Тооцон бодох шингэний динамик хуудасны эх кодыг харах

[[Image:CFD Shuttle.jpg|thumb|right|300px|[[Сансрын Шаттле]] хөлөг өндөр хурдтайгаар агаарын урсгалд нэвтрэх үеийн компьютер симуляци]]
[[Image:X-43A (Hyper - X) Mach 7 computational fluid dynamic (CFD).jpg|thumb|right|300px|[[Махын тоо|Мах]]-7 хурдтай нисч буй [[Гипер-Икс]] онгоцны симуляци]]

'''Тооцон бодох шингэний динамик''' эсвэл (Шингэний динамикийн тооцон бодох арга-ТБШД) ({{lang-en|computational fluid dynamics}}) нь [[шингэний механик]] буюу [[гидравлик]]ийн судалгааны 3 дахь шинэ хандлага болж хөгжсөн ба анх 1972 онд П.Роачэ гэдэг эрдэмтэн Computational Fluid dynamics гэдэг нэрийг өгсөнөөр системтэйгээр өргөжин хөгжижээ. Тооцон бодох шингэний динамик гэдэг нь [[тоон анализ|тоон арг]]ууд болон [[алгоритм]]ын тусламжтайгаар [[байгаль]] болон [[огторгуй]]д орших шингэний хөдөлгөөн, [[физик хэмжигдэхүүн]]ийг тооцон бодож тодорхойлдог салбар [[шинжлэх ухаан]] юм. Одоогоор инженерийн олон хэрэгцээнд тухайлбал [[аэродинамик]], [[аэро-акустик]], [[гидродинамик]], [[электродинамик]], [[эрүүл мэнд]], [[химийн үйлдвэрлэл]], [[термодинамик]], [[бодисын тархалт]], [[электрон нейтроны шилжилт]], [[цаг агаар]], [[хий ба шингэний тээвэр]] гэх мэт олон салбарт ашиглагдаж байна. Өнгөрсөн 10 жилийн хугацаанд "CFD" багц программууд шинээр төрөн гарч хүчирхэгжин хэрэглээний хүрээгээ тэлсээр байгаа ч CFD - ийн өөрийн алгоритм, комьпютерийн хүчин чадлаас хамаараад өөр өөр үр дүнгүүдийг өгч байна <ref>Б.Аюурзана. "Ивэн голын боомтын ус хаях барилгын гидравлик загварчлал", ШУТИС, 2013, https://www.academia.edu/5634709/Master_thesis </ref>.

== Арга, аргачлал ==
CFD багцуудын үндсэн тэгшитгэл нь [[Навиер-Стокесын тэгшитгэл|Навиер-Стокес]], [[Эйлэрийн тэгшитгэл|Эйлер]], [[Бүрэн потенциалын тэгшитгэл]]үүд байдаг. [[Навьер-Стокес]]ийн тэгшитгэлийн нэг хэлбэр болох [[Рейнольдсын дундаж Навьер-стокес]]ийн тэгшитгэлийг (RANS)<ref name=wilcox>{{cite book|last=Wilcox|first=David C.|title=Turbulence Modeling for CFD|year=2006|publisher=DCW Industries, Inc.|isbn=978-1-928729-08-2|edition=3}}</ref> ихэнх CFD программууд математик загвараар ашигладаг.
Эгшин зуурын урсгалын вектор ( ̅u_i)ба даралтын вектор  ̅р нь бүхэл хугацаа Т - ийн хувьд дундажлагдсан, өөрөөр хэлбэл  ̅u ба  ̅р бүрдүүлэгч векторууд нь u', p' гэсэн бүрдүүлэгч болно. 
RANS тэгшитгэл нь тухайн тохиолдол бүрт өөр тэгшитгэлтэй хавсарч загварчлалыг хийх хосолмол алгоритмыг CFD багцад [[загвар]] гэж нэрлэнэ. Загварыг бодох аргачлал нь [[төгсгөлөг эзлэхүүний арга]] (FVM-ТЗА), [[төгсгөлөг элементийн арга]] (FEM-ТЭА), [[төгсгөлөг ялгаварын арга]] (FDM-ТЯА) гэх мэт математик тооцоолох аргуудтай. Дээрх аргууд нь бодлогын хүрээг урьдчилан хуваасан тор, хэлхээсний тусламжтайгаар [[дискрет математик|тухайлсан]] тохиолдолд хэрэглэгдэнэ.
Инженерчлэл, шинжлэх ухааны судалгаа, тооцоололд дээр дурьдсан арилжааны багцуудаас гадна судлаачдын өөрсдөө тооцон бодох код бичиж шингэний динамикийг загварчлах хандлага байсаар байна. Шингэний урсгалын олон талт байдал, урсгал буй болох эсвэл хашигдах хүрээний хэлбэр дүрсийн ялгаатай байдлаас хамаарч багц програмууд тэр бүрчлэн тохирохгүй тохиолдолд тооцон бодох кодыг програмчлалын хэл ашиглан үйлддэг. Багц программ болон тооцон бодох код бүхий шингэний динамикийн тооцон бодох загварчлал нь дараах алхамуудын дагуу гйүцэтгэгдэнэ.
* [[Бэлтгэл үйлдэмж]] (preprocessing) үе шатанд
** Бодлогын хүрээ (судлах гэж байгаа үзэгдлээ бодлого гэж нэрлэдэг) буюу [[геометр]] тодорхойлогдсон байх.
** Бодлогын хүрээнд буй шингэнийг чөлөөт болон хэлхээст аргаар тухайлах. Хэлхээсээр тухайлах буюу хуваах нөхцөлд хэлхээс нь жигд (тэгш хэмт геометр дүрс) ба жигд бус (жигд бус хэмжээтэй геометр дүрс) хэлбэртэй байж болно.
** Физикийн болон математикийн загварчлал өгөгдөх – жишээлбэл, хөдөлгөөний тэгшитгэл + [[Энталпи]] + цацраг + хадгалагдах хуулиуд
** [[Хязгаарын нөхцөл]] (зарим үед захын нөхцөл гэж ярьдаг. [[англи]]: boundary condition) тодорхойлогдох. Энэ нь бодлогын хүрээ буюу шингэн хүрээлж буй гадаргатай харьцахдаа ямархуу шинж чанарыг үзүүлэх, ямар нөхцөлд байхыг харуулна. Хязгаарын нөхцлийг [[гулсах нөхцөл|гулсал]] ба [[үл гулсах нөхцөл|үл гулсах нөхцөл]]тэйгээр авч үзэж болно. Хязгаарын нөхцлөөс гадна [[анхны нөхцөл]] ([[англи]]: initial condition) бас тодорхойлогдох ёстой.
* [[Компьютер симуляци|Симуляци]]йн үе шат. Өгөгдсөн дээрх нөхцөл шинж чанарт харгалзан бодлогийн хүрээнд физикийн болон математикийн тэгшитгэлийг ажиллуулж шингэний физик хэмжигдэхүүнүүдийг итерацилж тодорхойлох үйл явц юм. Итерати нь хугацааны алхамт байдлаар хийгдэнэ.
* Бэлтгэл болон симуляцын үе шатууд амжилттай хийгдсэн тохиолдолд [[төгсгөл үйлдэмж]] (postprocessing) хийгдэнэ. Энэ үе шатанд загварчлалын үр дүнг илэрхийлж харуулах үүднээс [[графо-дүрслэл]]ийн хэлбэрт оруулна.

=== Тухайлах арга ===
Нил орчны механикт биетийг нэгэн төрлийн гэж үзэх ба энэ нэгэн төрлийн биетийг математик тэгшитгэлийн хамт салангид элемент эсвэл элементар хэсгүүд бүхий системд шилжүүлэх үйл ажиллагааг тухайлах буюу дискретчилэх гэж нэрлэдэг. Тухайлагдсан системийн шийд болон түүний шийдлийн тогтворшилт нь аналитик шийд болон түүний тогтворшилтой нийлж байх эсвэл дөхөж шаардлагатай. Энэ шаардлагыг хангахын тулд тухайлах тусгай аргачлалууд нээгдсэн ба тэдгээрийг ерөнхийд нь хэлхээст ба чөлөөт аргууд гэж ангилж болно. Тухайлах процессын үр дүн нь сонгож авсан аргын [[нарийвчлалын зэрэг|нарийвчлалын зэргээс]] мөн хамаарна. Тооцон бодох үйл ажиллагааны үр дүн дан ганц тухайлах аргыг зөв сонгож гүйцэтгэсэнээр үр дүнд хүрэхгүй ба тэгшитгэлийг бодоход хугацааны интеграцийг хэрхэн хийхээс мөн хамаарна. Хугацааны интегранцын аргуудаас хамгийн нарийвчлалтай мөн тогтвортой шийдэл өгдөг аргууд нь [[онож-заслах арга]], [[мэлхий үсрэлтийн арга]]<ref>[http://hydraulicstructure.blogspot.jp/2014/09/explicit-finite-difference-methods.html Төгсгөлөг ялгаварын ил арга, Б.Аюурзана.</ref> гэх мэт юм. 
Зарим тухайлах аргачлалыг авч үзвэл:

=== Хэлхээст арга - Mesh method ===  
==== Төгсгөлөг эзлэхүүний арга ==== 
{{Main|Төгсгөлөг эзлэхүүний арга}}
Төгсгөлөг эзлэхүүний аргыг анх 1971онд Пауллэй 2 хэмжээст Эйлэрийн тэгшитгэлийг бодоход ашиглаж гаргаж ирсэн. Улмаар 1999 онд 3 хэмжээстээр тооцох алгоритмыг Торо гаргаж ирсэн. Ингэснээр CFD багцууд 3 хэмжээст орчинд шингэний хөдөлгөөнийг загварчлан турших боломжтой болж иржээ <ref>Б.Аюурзана. "Ивэн голын боомтын ус хаях барилгын гидравлик загварчлал", ШУТИС, 2013, https://www.academia.edu/5634709/Master_thesis </ref>. Энэ арга нь тухайн огтлолд буюу сонгож авсан системд байх шингэнийг хэлхээс (mesh) - т хувааж  маш жижиг эзлэхүүнүүдийг бий болгох ба тэдгээрийн нэг эзлэхүүнд гарч байгаа элементүүдийн өөрчлөлтийг анхны болон хязгаарын нөхцлийн тусламжтайгаар тодорхойлж улмаар бүхэл системийн хувьд ямар байхыг гаргаж ирдэг <ref>{{cite book|last=Patankar|first=Suhas V.|authorlink=Suhas Patankar|title=Numerical Heat Transfer and Fluid FLow|year=1980|publisher=Hemisphere Publishing Corporation
|isbn=0891165223}}</ref>.
Төгсгөлөг эзлэхүүний аргын ерөнхий хэлбэр нь дараах байдалтай бичигдэнэ.
:<math>\frac{\partial}{\partial t}\iiint Q\, dV + \iint F\, d\mathbf{A} = 0,</math>
Үүнд: <math>Q</math> хадгалагдаж үлдэх вектор хэмжигдэхүүн, <math>F</math> нь түрлэгийн вектор ([[Эйлэрийн тэгшитгэл]] эсвэл [[Навиер-Стокесийн тэгшитгэл]]ээс харна уу.), <math>V</math> хяналтын эзлэхүүний хэмжээс буюу элементар хэсгийн эзлэхүүн, <math>\mathbf{A}</math> нь хяналтын эзлэхүүний гадаргуугын талбай юм.
Задгай гольдрол дахь шингэний хөдөлгөөнийг загварчлахад 2 ба түүнээс дээш фазтай<ref>{{cite news|last1=Hirt|last2=Nichols|first1=C.W.|first2=B.D.|title=Volume of fluid (VOF) method for the dynamics of free boundaries|year=1981|publisher=Journal of Computational Physics }}</ref> урсгалууд оршин байдаг. Иймд шингэний хоорондын харилцан үйлчлэлийг нарийн тодорхойлохын тулд [[шингэний эзлэхүүний арга|Шингэний эзлэхүүний аргыг]] (VoF) 1976 онд Нох болон Вүүдвард - нар дэвшүүлсэн.
Энэ арга нь зөвхөн шингэний динамикийг тооцоолон бодох тоон техник "[[тоон анализ]]" ба Эйлерийн аргын ангилалд багтдаг. С буюу фракцын функц гэж нэрлэгдэх санаан дээр суурилсан энэхүү арга нь төгсгөлөг эзлэхүүн дахь шингэний [[характеристикийн функц]]ын нийлбэрээр тодорхойлогдоно. Үндсэндээ төгсгөлөг эзлэхүүн хоосон тохиолдолд С функцийн утга нь 0 байх ба эсрэг тохиолдолд С = 1 байна.
Иймд С нь 0 - тэй тэнцүү байх шаардлагатай функцын бодит гаргалгаа нь дараах хэлбэртэй байна.
∂C/∂t+v∙∇C=0  									
Үүнд: v - 3 хэмжээстэд шингэний хурдны утга
ТБШД - д шингэний эзлэхүүний фракц хэмээх чухал ойлголт гарч ирнэ. Энэ нь ихэвчлэн олон фазат урсгалыг загварчлах үед гарч ирэх ба нил орчны эзлэхүүний фракц нь 1 - тэй тэнцүү байна. Эзлэхүүний фракц ϕ_i нь шингэний холигдсон эзлэхүүн V_i - ийг холигдохын өмнөх эзлэхүүнд V харьцуулсанаар тодорхойлогдоно.
ϕ_i=V_i/( V) , м3/м3 									
Шингэний урсгал байгаль дээр ихэвчлэн турбулент хэлбэртэйгээр байх учир ихэнх загварчлалд [[k - ε турбулент загвар]] хэрэглэгддэг. Энэ нь урсгалын кинетик энергийн тэгшитгэл k болон турбулент урсгалын энергийн тархалтын тэгшитгэл ε~k^(3/2)/L - ээс гаралтай хагас туршилтын тэгшитгэл юм <ref>{{cite journal|last=Launder|first=B. E.|author2=D. B. Spalding|year=1974|title= The Numerical Computation of Turbulent Flows|journal=Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering|pages=269–289|doi = 10.1016/0045-7825(74)90029-2|bibcode = 1974CMAME...3..269L|volume=3|issue=2 }}</ref>. 

〖∂k/∂t〗_(утгын өөрчлөлт)+〖u ̅_i  ∂k/(∂x_i )〗_(конвекцийн шилжилт)=〖∂/(∂x_i ) (ν_t/σ_k   ∂k/(∂x_i ))〗_(диффузийн шилжилт)+〖ν_t ((∂(u_i ) ̅)/(∂x_j )+(∂(u_j ) ̅)/(∂x_i ))  (∂(u_i ) ̅)/(∂x_j )〗_(шүргэх хүчдэлийн илрэл)-ε_(тархалт )

Турбулентийн тархалт, <math>\epsilon</math> [[тулбулент кинетик энерги]] - ийг дотоод дулааны энергид хувиргасан утга юм. Нэгж нь СИ системд <math>\epsilon</math> бол <math>J / kg s = m^2 / s^3</math>.

<math>\epsilon \, \equiv \, \nu \overline{\frac{\partial u_i'}{\partial x_k}\frac{\partial u_i'}{\partial x_k}}</math>


[[Шахагдах шингэн]]ий хувьд дараах хэлбэртэйгээр бичигдэнэ:

<math>\epsilon \, \equiv \, \frac{1}{\overline{\rho}} \overline{\tau_{ij} \frac{\partial u_i''}{\partial x_j}}</math>

Энд зунгааралтын хүчдэл, <math>\tau_{ij}</math>, Моно-атом хий дахь [[Стокесын теором|Стокес]]ийн хуулийг хэрэглэх ба энэ нь:

<math>\tau_{ij} = 2 \mu S^*_{ij}</math>

Үүнд

<math>S^*_{ij} \equiv  \frac{1}{2} \left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) - \frac{1}{3} \frac{\partial u_k}{\partial x_k} \delta_{ij}</math>

==== Төгсгөлөг элементийн арга ====

{{Main|Төгсгөлөг элементийн арга}}

Төгсгөлөг элементийн арга (FEM - ТЭА) нь хатуу биеийн бүтээц, механикийн шинжилгээнд түлхүү хэрэглэгдэх боловч шингэний урсгалд өргөн хэрэглэгдэх боломжтой. Гэвч шингэнд хэрэглэж байгаа тохиолдолд нилээд нарийвчлал бүхий шийдэлд хүрэхийн тулд тусгай арчилгаа бүхий төгсгөлөг элементийн томъёолол шаардагддаг. Төгсгөлөг элементийн томъёолол нь шингэний динамикийн үндсэн тэгшитгэлүүдэд хэрэглэгдэхээр тохируулагдсан байдаг.{{Citation needed|date=November 2010}} ТЭА-ын томъёолол нь маш нарийн консерватив хандлагатай бичигдсэн тохиолдолд тооцооллын нарийвчлал нь төгсгөлөг эзлэхүүний аргаас илүү нарийвчлалтай гарах боломж бий.<ref>{{cite journal
| title=k-version of finite element method in gas dynamics: higher-order global differentiability numerical solutions
| last1=Surana
| first1=K.A.
| last2=Allu
| first2=S.
| last3=Tenpas
| first3=P.W.
| last4=Reddy
| first4=J.N.
| journal=International Journal for Numerical Methods in Engineering
| volume=69
| issue=6
| pages=1109–1157
|date=February 2007
| doi=10.1002/nme.1801
|bibcode = 2007IJNME..69.1109S }}</ref>  Гэвч энэ тохиолдолд төгсгөлөг элементийн аргын хугацааны интеграцид тооцогдож буй үр дүнг хадгалахад төгсгөлөг эзлэхүүний хандлагаас илүү компьютерийн багтаамж шаарддаг.<ref>{{cite book
| author=Huebner, K. H., Thornton, E. A., and Byron, T. D.
| title=The Finite Element Method for Engineers
| edition=Third
| publisher=Wiley Interscience
| year=1995}}</ref>

Энэ аргад, жинлэсэн үлдэгдлийн тэгшитгэл нь дараах байдлаар илэрхийлэгдэнэ:

:<math>R_i = \iiint W_i Q \, dV^e</math>

Үүнд <math>R_i</math> нь <math>i</math> элементийн орой дээрх үлдэгдлийн тэгшитгэл, <math>Q</math> нь суурь элемент дээр илэрхийлэгдсэн консерватив тэгшитгэл, <math>W_i</math> нь жинлэх итгэлцүүр, ба <math>V^{e}</math> нь элементийн эзлэхүүн юм.

==== Төгсгөлөг ялгаварын арга ==== 
{{Main|Төгсгөлөг ялгаварын арга}}

[[Төгсгөлөг ялгавар]]ын арга (FDM-ТЯА) нь дифференциал тэгшитгэлийг шийдийг ойролцоо олох, шийдвэрлэх түүхэнд чухал үүрэг гүйцэтгэсэн уламжлалт аргуудын нэг ба програмчилж код бичихэд энгийн хялбар байдаг<ref>[http://hydraulicstructure.blogspot.jp/2014/09/explicit-finite-difference-methods.html Төгсгөлөг ялгаварын ил арга, Б.Аюурзана.</ref>. Энэ арга нь давхацсан тор эсвэл шингэмэл хязгаарын нөхцөл гэх мэт тусгайлсан нөхцлүүдийг хэрэглэн комплекс геометр бүхий бодлогийг өндөр нарийвчлалтай шийдэх боломжтой ба нэмэлт сайжруулалтгүйгээр тодорхой хэдэн бодлогуудад хэрэглэгддэг.{{Citation needed|date=November 2010}} 
:<math> 
\frac{\partial Q}{\partial t}+
\frac{\partial F}{\partial x}+
\frac{\partial G}{\partial y}+
\frac{\partial H}{\partial z}=0
</math>
Үүнд <math>Q</math> хадгалагдаж үлдэх вектор хэмжигдэхүүн, <math>F</math>, <math>G</math>, болон <math>H</math> нь <math>x</math>, <math>y</math>, болон <math>z</math> тэнхлэгүүд дахь түрлэгийн вектор хэмжигдэхүүн юм. Турбулент горимд шингэний урсгал нэгэн чиглэлд явагддаггүй ба ерөнхий зонхилох урсгалыг '''зарцуулга''' гэх ба бусад тэнхлэгийн чиглэлд бий болж буй микро урсгалыг '''цүлхэлт''' гэж нэрлэнэ. Төгсгөлөг ялгаварын аргын хугацааны интеграцийг хийх эсвэл тооцон бодох схемийг [[Төгсгөлөг ялгавар|төвийн ялгаварт схем]], [[Төгсгөлөг ялгавар|ухрах ялгаварт схем]], [[Төгсгөлөг ялгавар|давших ялгаварт схем]] гэж ангилах ба эдгээр схемд Эйлэрийн, Рунга-Кутта, Жакобсийн давталтын гэх мэт аргуудыг хэрэглэдэг<ref name=О.Лхагва>{{cite book|last= О.Лхагва|first=М.Батмөнх|title=Тооцон бодох математик|year=2010|publisher=Битпресс ХХК.|isbn=978-99962-59-06-7|edition=1}}</ref>.

=== Латтис Больцманы арга ===
{{Main|Латтис Больцманы Арга}}

ЛБА бол комплекс шингэний системд харьцангуй шинэ тооцооллын арга бөгөөд тооцон бодох шинжлэх ухаанд ялангуяа физик, шингэний динамикийн салбарт судлаачдийн анхаарлыг маш их татаж байна. Хадгалагдах хуулийн Макро-орчны шинж чанаруудыг (ж.н масс, момент, энерги) тоон аргаар шийдвэрлэдэг уламжлалт [[Тооцон бодох шингэний динамик|ТБШД]]-ын аргуудтай ([[Тооцон бодох шингэний динамик#Хэлхээст арга - Mesh method|хэлхээст арга]]) адилгүйгээр ЛБА нь шингэнийг төсөөллийн эгэл хэсгүүдээс бүрдсэн мөнөөх эгэл хэсгүүд нь дискрет сүлжээ (Латтис гэдэг нь сүлжээ юм) бүхий хэлхээсийн дагуу дэс дараалсан түгэлт болон мөргөлдөөнийг бий болгоно гэж загварчилдаг. Энэхүү хэсгийн чухал байдал, орчны динамикийн ачаар ЛБА нь бусад нийтлэг хэрэглэгдэх ШДТБАргуудаас илүү гарах хэд хэдэн давуу талийг бий болгох ба ялангуяа комплекс хязгаартай бодлогууд, макро орчны харилцан үйлчлэлийн хамаарал, алгоритмыг параллелчлах нөхцөлд маш тохиромжтой давуу талуудыг бий болгоно. Сүлжээний буюу Латтис Больцманы тэгшитгэлийн өөр нэг илрэл нь тухайлсан-хурдны [[Больцманы тэгшитгэл]] юм. Тухайлсан тэгшитгэл гэдэг нь дискрет орчинд бичигдсэн эсвэл хөрвүүлэгдсэн тэгшитгэл гэж ойлгоно. Тухайн дифференциал тэгшитгэлийн системийг шийдэх тоон арга нь төсөөллийн эгэл хэсгүүдийн түгэлт ба мөргөлдөөнийг харуулсан дискрет дүрслэлийг бий болгоно.<p xml:lang="en">Комьпютер алгоритмд, мөргөлдөөн болон урсгалын алхамууд нь дараах байдлаар илэрхийлэгдэнэ:</p>Мөргөлдөх алхам: <math>f_i^t(\vec{x},t+\delta_t) = f_i(\vec{x},t) + \frac{1}{\tau_f} (f_i^{eq}-f_i)\,\!</math>

Урсах алхам: <math>f_i(\vec{x}+\vec{e}_i\delta_t,t+\delta_t) =f_i^t(\vec{x},t+\delta_t) \,\! </math>

Энд ''i'' моментийн чиглэлийг заах ба түгэлт гэдэг нь төсөөллийн эгэл хэсгүүдийн урсах алхамыг илэрхийлж байгаа юм.
=== Чөлөөт арга-Meshfree method ===
==== Гөлгөржүүлсэн эгэл хэсгийн гидродинамик ====
{{Main|Гөлгөржүүлсэн эгэл хэсгийн гидродинамик}}

Гөлгөржүүлсэн эгэл хэсгийн гидродинамик (SPH) нь шингэнийг дотор нь эгэл хэсгүүд гэж нэрлэгдэх салангад үрлэн бүтэцтэй элементүүдэд хувааж гүйцэтгэнэ. Эдгээр эгэл хэсгүүд нь тодорхой орон зайн урттай ("гөлгөржүүлэх урт" гэж нэрлэгдэх ба ихэвчлэн <math> h </math> гэж тэмдэглэгдэнэ.) байх ба физик хэмжигдэхүүн эсвэл шинж чанар нь ''[[Гөлгөр цөм|Цөм функц]]''ын тусламжтайгаар "гөлгөржсөн" байна. Тухайн эгэл хэсгийн физик хэмжигдэхүүн нь энэхүү гөлгөр цөм функцын хүрээнд оршин буй бусад эгэл хэсгийн физик хэмжигдэхүүний нэгтгэлээр тодорхойлогдоно гэсэн үг юм. Жишээлбэл, Монагханы куб муруй шугаман гөлгөр функцыг хэрэглэн <math> \mathbf{r} </math> байрлал дахь эгэл хэсгийн [[температур]] нь <math> \mathbf{r}</math> - ийн <math>2h</math> хүрээнд (тойрогт) байх бүх эгэл хэсгийн температураас хамаарна.

Шинж чанар дахь эгэл хэсэг бүрийн нөлөөлөл гэдэг нь тэдгээрийн нягт болон эгэл хэсгүүдийн хоорондын зайнд дундажлагдах явц юм. Математик үүднээс, энэ нь өнөөх гөлгөр функцаар (тэмдэглэгээ <math> W </math>) гүйцэтгэгдэнэ. Түлхүү ашиглагддаг цөм функцууд нь [[Гауссын цөм функц]] болон [[куб муруй шугаман цөм функц]]ууд юм. Куб муруй шугаман гөлгөр функ нь хоёр өөр урттай эгэл хэсгүүдийн хувьд 0 (эсрэгээр Гауссын цөм функцын хувьд, ямарч төгсгөлөг зайтай байсан ямар нэгэн харилцан нөлөөлөл оршин байдаг) болдог. Энэ нь эгэл хэсгийн зайнаас хамаарсан харилцан үйлчлэлийг авч үздэггүй учраас тооцооллын оролдлогыг хадгалах давуу тал болдог.

Ямар нэгэн <math>\mathbf{r}</math> цэг дээр (эгэл хэсэг) ямар нэгэн <math>A</math> хэмжигдэхүүний тэгшитгэл нь дараах байдлаар өгөгдөнө.

:<math>
A(\mathbf{r}) = \sum_j m_j \frac{A_j}{\rho_j} W(| \mathbf{r}-\mathbf{r}_{j} |,h),
</math>

Үүнд <math> m_j </math> нь эгэл хэсэг <math> j </math> - ийн [[масс]] ба, <math> A_j </math> нь эгэл хэсэг <math> j </math> дахь <math> A </math> хэмжигдэхүүний утга, <math> \rho_j </math> нь эгэл хэсэг <math> j </math> - тэй холбогдсон [[нягт]], <math>\mathbf{r}</math> нь байрлал тэмдэглэх ба <math> W </math> нь дээр дурьдсан гөлгөр цөм функцын тэмдэглэгээ юм. Тухайлбал, эгэл хэсэг <math> i </math> (<math> \rho_i </math>) - ийн нягт нь дараах байдлаар илэрхийлэгдэнэ.

:<math>
\rho_i = \rho(\mathbf{r}_i) = \sum_j m_j \frac{\rho_j}{\rho_j} W(| \mathbf{r}_i-\mathbf{r}_j |,h) = \sum_j m_j W(\mathbf{r}_i-\mathbf{r}_j,h),
</math>

Энд эгэл хэсэг <math> j </math> -ийн дагуух нэгтгэл нь симуляци дахь бүх эгэл хэсгүүдийг хамрана.

Үүнтэй ижил байдлаар, хэмжигдэхүүн эсвэл тоо хэмжээний функцын орон зайн уламжлал нь ([[Дел]], <math> \nabla </math>) уламжлалын шугаман үйлдлээр хялбархан олдох боломжтой.

:<math>
\nabla A(\mathbf{r}) = \sum_j m_j \frac{A_j}{\rho_j} \nabla W(| \mathbf{r}-\mathbf{r}_j |,h).
</math>

Гөлгөржүүлэх урт нь [[орон зай]] болон [[хугацаа]]нд хувьсан өөрчлөгдөх боловч энэ нь SPH - ийн бүрэн хүчин чадлын давуу талыг олгохгүй. Эгэл хэсэг бүрт өөрийн гэсэн гөлгөржүүлэх уртыг бий болгох нь энэхүү урт хугацааны турш өөрчлөгдөх боломжийг олгох ба тооцооны үр дүн нь энэ өөрчлөлт болон орчны нөхцөл дээр хамаарч автоматаар засварлагдан сайжирна. Тухайлбал, маш олон эгэл хэсэг нэг бүсд нят байдлаар оршин байхад эдгээрийн гөлгөржүүлэх урт нь харилцан багасах ба ингэснээр маш өндөр орон зайн нарийчлалыг бий болгоно. Эсрэгээр, бага нягт бүхий орчинд эгэл хэсгүүд хоорондоо хол орших нь орон зайн бага нарийчлалыг өгөх ба гөлгөржүүлэх урт нь ихсэж авч үзэж буй хүрээнд тооцооллийн оновчлол хийгдэж эхэлнэ. SPH-д [[төлөвийн тэгшитгэл]] болон  [[интеграц]] -ийг хослуулсанаар, гидродинамикийн проблемийг үр ашигтайгаар тооцох боломж бий болно. Мөн, SPH-д хэрэглэгдэж буй уламжлалт [[тоон тархалт|зохиомол зунгааралт]]ын томъёолол нь [[цохилтын долгион|шок]] болон [[сул тасралт]]ын үзэгдлүүдийг туршигдсан хэлхээст суурилсан тоон схемээс илүүтэйгээр тархааж тогтворжуулах хандлагатай байдаг.

==== Чөлөөт элемент бүхий Гларкений арга ====
==== Эгэл хэсгийн хөдөлгөөний хагас илэрхий арга ====

== Усны барилга дахь тооцон бодох гидравлик ==



XX – р зууны турш тооцоолон бодох техник ашигласан хэмжээст загварчлалын өргөн хэрэглээгээр тэргүүлсэн туршилт судалгаа, загварчлалын арга эрчимтэй хөгжиж ирсэн нь [[гидравлик]]ийн шинжлэх ухааны түүхэнд тэмдэглэгдэн үлдсэн байдаг.
[[Шинжлэх ухаан]]ы салбарт аливаа юмс үзэгдлийн физик, механикийн шинж чанарыг судлахын тулд олон эрдэмтэд математик, тоон болон тооцоолох аргачлалыг загварчлалын хандлагатай хэрэглэж ирсэн ба эдгээр загварчлалын хоорондын хамаарал нь ялгагдах гол шинжүүдийг бий болгоно.
[[Математик загвар]]члал гэдэг нь хүрээлэн байгаа орчны үйл явц, бодит объектын (шингэний хувьд) урсгалын физикийн тухай үзэл дээр суурилсан ба урсгалын шинж чанар хөдөлгөөнийг дифференциал болон алгебрийн тэгшитгэлээр дэвшүүлсэн хэлбэр юм. 
[[Тоон загварчлал]] нь тухайн шингэний хувьд хийсвэр цэгийг авч урсгалыг тодорхойлох параметрийг олж болохоор хэлбэрт хэрэглээний тэгшитгэл эсвэл матриц байдлаар илэрхийлэх математик загварчлалын ойролцоо хэлбэр юм. Өөрөөр хэлбэл анхны ба хязгаарын нөхцөл өгөгдсөнөөр математик загварчлал хэрэглээнд шилжих ба түүнийг тоон загварчлал гэнэ. 
[[Тооцоолох загварчлал]] нь урсгалын тухайн нөхцөл байдалд тоон загварчлалын гүйцэтгэл буюу биелэлт юм. Ихэнх тооцоолох систем нь загварчлалд хэрэглэхэд боломжтой байх ба хэрэглэгч тухайн тооцоолох системээс өөрийн загварт тохирохыг нь авч ашиглахад л загварчлал үр дүнтэй болно. Тооцоолох системийн сонголтонд тухайн тооцоолох системийн суурь болох математик загварчлал чухал үүрэгтэй. 
Тооцоолох загварчлал нь ихэвчлэн “[[физик загварчлал]]” – тай харьцуулбал хямд төсөр байх ба масштабны нөлөөнд автахгүйгээр гидравликийн үзэгдлийг бодит хэмжээсээр нь судлах боломжийг олгодог. Өөрөөр хэлбэл тооцоолох загварчлал хийхэд бодит объектийн физик параметрүүд, [[усны барилга байгууламж|усны барилгын]] хувьд нарийвчлалтай [[топограф]]ийн зураг болон барилгын үндсэн хэмжээс, гидравликийн зарим чухал элементүүд (анхны болон хязгаарын нөхцөл) мэдэгдэж байх хэрэгтэй. Ялангуяа тооцоолох загварчлалын нарийвчлал нь [[геометр]] загвар буруу, системийн тохируулга, анхны болон хязгаарын нөхцөл бодитой өгөгдөөгүй үед судалгааны явц хангалтгүй болно.
=== Физик ба тооцон бодох загварчлалын түүх ===


Тооцон бодох шингэний динамик - ТБШ (CFD) салбарын мэдээлэлийн гар боловсруулалтаас [[гидроинформаци]] үүсэн хөгжсөн ба энэ нь дууриамал загварыг хэрэглэж мэдээлэл харилцаа холбоо (ICT) – ийн тусламжтайгаар [[гидравлик]], [[гидрологи]] болон хүрээлэн байгаа орчны асуудлыг шийдвэрлэх, цаашилбал системд суурилсан усны менежментийг хүртэл шийдвэрлэх боломжтой болсон юм (Abbott, 1991). Хэдий тийм боловч гидравлик нь гидроимформацийг бүрдүүлэгч төв нь байх ба өөрөө өөрийгөө шинчлэхэд нөлөөлж байдаг тухай тэмдэглэсэн байдаг. (Abbott, Babovic and Cunge, 2000).
Гидроинформацийн цаашдын хөгжилд [[хуурмаг мэдрэлийн сүлжээ]] гэх шинэ зүйл бий болсон ба энэ нь бусадтайгаа холбоотой байх нэг мэдрэлийн эсээс мэдээллийг дамжуулсанаар хүний тархины ажиллагаа, булчин, яс гэх мэт биеийн нарийн зүйлийг судлах хандлага юм. Мэдээллийн хэмжээ том байх тусам сүлжээнд тээвэрлэх “галт тэрэг” тэр хэмжээгээр шаардлагатай болж арга нь урсгалын байрлалын тоо амжилттай байхад ашиглагдана. 
Гидравликийн асуудлыг шийдвэрлэх туршилтын судалгааны хэрэглээ нь нилээд олон улсад хийгдэж байсан тухай тэмдэглэл байх ба 19 – р зууны 2 – р хагасаас өмнө хөгжсөн гэдэг нь нотлогдсон. Инженерийн асуудлыг шийдвэрлэх масштаблах загварын хэрэглээний санаа нь энэ үед хөгжиж эхэлсэн боловч анх [[Архимед]]ийн үед суурь нь тавигдсан гэж үздэг. 1869 онд В.Фруда анхны усан бассейныг барьж хөлөг онгоцны загвар хийж түүнийгээ туршиж байсан бол 1885 онд О.[[Рейнолдьс]] Дээд Мерсей – гийн түрлэгийн загварыг хийсэн байна. Зууны эргэлт хэмээн нэрлэгдэх гол мөрөн ба усны барилгын загварчлалыг үүсгэн байгуулагч 2 лабораторийг Дрезденд 1898 онд Хуберт Энгельс, Карлсруе – д 1901 онд Теодор Ревок нар бүтээн босгожээ. Тэдгээрийг даган дэлхий даяар олон шинэ лабораторууд байгуулагдан 20 – р зууны эхний хагас гэхэд үндсэндээ өргөжин хөгжсөн юм.
1960 – аад оны үед компьютерийн шинжлэх ухаан, математик техникийн хэрэглээ өсөхөд усны барилга, гидравликийн загварчлалыг дахин өөр чиглэлд удирдан хөтөлсөн боловч гидравлик инженерийн асуудлыг шийдвэрлэх гидравликийн лабораторын хэрэглээг багасгаж чадаагүй юм. Үүний шалтгаан нь загварчлалын хэмжээ нэмэгдэж, зарим төлөвлөлтийн төвөгтөй байдал нь шинэ зүйлийг шаардах, математик шийдэл нь практикт зарим зүйлээр зөрчигдсөнөөс туршилт тавихаас өөр замгүй болох, гидравликын масштаблах загварт хагшаас болон бохирдлын тээвэрлэлт гэх мэт хүрээлэн байгаа орчны асуудлыг шийдвэрлэх нэмэлт асуудлуудын хэрэглээ улам бүр ихэссэн гэх мэт олон зүйл байсан. Мөн [[төсийн онол]]ын хөгжил нь масштаблах загварын хэрэглээнд масштабын нөлөөний зайлшгүй байдлыг бодит байдалд ойлгомжтой болгоход хөтөлсөн нь эргээд лабораторын судалгааг тусгайлан хийх, хээрийн судалгааны хэрэглээ зэрэг нь хосоороо хөдөлгөгч хүч болсон. Математик загварчлал нь ихэвчлэн [[физик загвар]]аас гарсан мэдээ шаарддаг ба загварчлах хоёр аргын давуу талуудыг хослуулсан “хосолсон загварчлал” – ийн хэрэглээг нэмэгдүүлсэн.

=== Үндсэн тэгшитгэлүүд ===
Тоон болон тооцоолох загварын үндэс нь дээр өгүүлсэнээр математик загвар юм. Өөрөөр хэлбэл тоон болон тооцоолох загвар нь урсгалыг төсөөлөх алгебр болон [[дифференциал тэгшитгэл]] дээр суурилна. Эдгээрийн жишээ нь гүехэн ус болон турбулент горим дахь [[Урсгал тасралтгүйн тэгшитгэл]], [[Навиер-Стокесийн тэгшитгэл]] (турбулентийн даралтыг багтаана), хугацаа болон зайн хамааралтай хурдны өөрчлөлтийг харуулсан [[Сайнт Венантын тэгшитгэл]] юм. 
Инженерийн тооцоонд дахин дахин давтагдан гарах тухайн дифференциал тэгшитгэл (PDEs эсвэл ТДТ) нь шугаман болон хоёрдугаар эрэмбийн буюу [[шугаман бус систем|шугаман бус]] (квадрат) хэлбэртэй байна. Эдгээр нь шингэний динамикт ихэвчлэн [[гипербол]] (давалгаа), [[парабол]] (диффузи) болон [[эллипс]] (Лаплас) – ын тэгшитгэлүүд байдаг. ТДТ – ийн шийдэлд хязгаарын болон анхны нөхцөлүүд нь өгөгдсөн байх ёстой. 
ТДТ – ийн шийдэл нь ихэнх тохиолдолд илэрхий эсвэл үл мэдэгдэх шийдэлтэй төгсгөлөг ялгавар, төгсгөлөг элемент, төгсгөлөг эзлэхүүний арга дээр суурилсан тоон шийдлийн нөөцийг шаарддаг ба [[тоон утгын тогтворшил]] (numerical stability), давхцал буюу [[нийлэмж]] (convergence), сарнил ба тархалт (dissipation and dispersion) нь тоон загварчлалын үзлийн чухал зүйл юм. ТДТ  – г [[бүрэн дифференциал тэгшитгэл]]д (ODEs) тодорхой үр дүнгийн дагуу шилжүүлэх тодорхойломжийн арга нь энгийн алхамаар хийгддэг. 

::<math>{\partial \over \partial t} \iiint_V \rho \, dV = - \, {} </math> oiint|preintegral = |intsubscpt =<math>{\scriptstyle S}</math>|integrand = <math>{}\,\rho\mathbf{u}\cdot d\mathbf{S}</math>


::<math>\ {\partial \rho \over \partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{u}) = 0 </math>

::<math> \frac{\partial}{\partial t} \iiint_{\scriptstyle V} \rho\mathbf{u} \, dV = -\, {} </math> {{oiint|preintegral = |intsubscpt = <math>_{\scriptstyle S}</math> |integrand}} <math> (\rho\mathbf{u}\cdot d\mathbf{S}) \mathbf{u} -{}</math> {{oiint|intsubscpt = <math>{\scriptstyle S}</math>|integrand = <math> {}\, p \, d\mathbf{S}</math>}} <math>\displaystyle{}+ \iiint_{\scriptstyle V} \rho \mathbf{f}_\text{body} \, dV + \mathbf{F}_\text{surf}</math>


::<math>\ \rho {Dh \over Dt} = {D p \over D t} + \nabla \cdot \left( k \nabla T\right) + \Phi </math>

Шингэний динамикийг судлах тооцоолон бодох арга "ТБШ" нь хожуу 1970 оноос үүсэлтэй боловч 3 хэмжээстэд загварчилж шингэний хөдөлгөөнийг судалж байгаа арга нь 1990 оноос эхлэлтэй. Шингэний динамикийн төвөгтэй горим нь түүнийг заавал лабораторид туршиж судлах шаардлагатай байдаг бол ТБШ арга нь материал, хөрөнгө болон ур чадварыг хэмнэж цахим лаборатори хэлбэрээр судлах боломж олгож байгаа юм. Анх ТБШ аргыг супер комьпютер дээр ачааллаж судалдаг байсан ба өдгөө хэрэглээний комьпютерт өндөр үр дүнтэйгээр судлах боломж улам бүр нэмэгдсээр байна. [[усны инженерчлэл|Усны барилгын инженерчлэл]], гидравликийн шинжлэх ухаанд ажиллаж байгаа маш олон загварчлах программ, багцууд байх ба эдгээр нь 1D, 2D, 3D хэмжээсүүдэд ажилладаг. Загварчлалд хэрэглэх боломжтой компьютер багцуудыг сайн ашиглахын тулд физик ба математик загварын суурь томъёололыг сайн ойлгосон байх шаардлагатай. 
2 хэмжээст загварчлах хуучны багцуудын ихэнх нь нэг чиглэлтэй байсан. Жишээ нь Mike 11 (задгай голдирол дахь шингэний хөдөлгөөн), Flowmaster  (хоолой дахь шингэний урсгал ба даралт) DAMBRK (боомтын задрал) гэх мэт байна. 
Шингэний динамикийн загварчлал (ТБШ) усны барилгын инженерийн төсөл тооцоонд хамгийн чухал үүрэгтэй гэж Вервей (1983) өөрийн зохиолдоо тэмдэглэн үлдээжээ. Ингэснээр ТБШ усны барилгын инженерчлэлд улам хурдтай хөгжижээ. Жишээ нь [[Боомт]]ын илүүдэл ус халиах ус халиагуур дээгүүр урсах шингэний хөдөлгөөнийг тооцоолох техникийн хэрэглээнд – Спаливиеро ба Сеед (1998), Сонг ба Зоу (1999) ба Ассу (2001) зэргээс харж болно. Гидравликийн тооцоолон бодох аргын хэрэглээ нь ялангуяа голын инженерчлэл буюу голын системийн шинжилгээний салбарт өргөн тархсан. Чунге, Холли ба Вервей (1980). Бүргиссер (1999) [[тоон анализи]] (Тоон анализ - Numerical analysis ном зүй олон байдаг) ашиглан усны барилга дахь усны түвшний шийдэлийн тоймыг ерөнхийд нь гаргасан бол түр зуурын даралтыг тооцоолох тоон техникийн хэрэглээ нь Вилие ба Стреетэр (1993) – аар бүтээгджээ. Гэх мэтээр усны барилгын инженерчлэлд тооцоолох технологиуд олон бий болсон ба 1990 оноос хойш ТБШ чиглэлийн инженерүүдийг бэлтгэдэг болж бүх салбарын хувьд нэгдсэн программ, алгоритмууд бичигдэж эхэлсэн.

== Мөн үзэх ==
* [[Хурц элементийн теором]] Blade element theory
* [[Төвийн ялгаварын схем]] Central differencing scheme
* [[Тооцон бодох магнето-гидродинамик]] Computational magnetohydrodynamics
* [[Шингэний динамик дахь хязгаарын нөхцлүүд]]Different types of boundary conditions in fluid dynamics
* [[Төгсгөлөг элементийн шинжилгээ]] Finite element analysis
* [[Тогтворжоогүй урсгалын Төгсгөлөг элементийн арга]] Finite volume method for unsteady flow
* [[Шингэний симуляци]] Fluid simulation
* [[Автмал хязгаарын арга]] Immersed boundary method
* [[Латтис Больцманы Арга|Латтис Больцманы арга]] Lattice Boltzmann methods
* [[Чөлөөт арга]] Meshfree methods
* [[Эгэл хэсгийн хөдөлгөөний хагас илэрхий арга]] Moving particle semi-implicit method
* [[Мулть-эгэл хэсгүүдийн мөргөлдөөний динамик]] Multi-particle collision dynamics
* [[Шингэний динамик дахь тоон аргууд]] Numerical methods in fluid mechanics
* [[Гөлгөржүүлсэн эгэл хэсгийн гидродинамик]] Smoothed-particle hydrodynamics
* [[Магадлалын Эйлер Лагранжийн арга]] Stochastic Eulerian Lagrangian method
* [[Турбулентийн загвачрлал]] Turbulence modeling
* [[Графо-дүрслэл]] Visualization
* [[Салхин туннель]] Wind tunnel
* [[Кавитацын загварчлал]] Cavitation modelling
* [[Дүрсийн оновчлол]] Shape optimization

==Лавлахууд==
{{reflist|30em}}

[[Ангилал:Википедиа:Онцлох өгүүлэл]]
[[Ангилал: Шингэний динамик]]
[[Ангилал: Тооцон бодох шинжлэх ухаан]]
[[Ангилал: Усны инженерчлэл]]