Стирлингийн томъёо

(ln n!) - ийг (n ln n − n) - д хуваасан харьцаа нь n ихсэх тусам нэг гэсэн утга руу дөхнө.

Математикт "Стирлингийн томъёо" нь n!-н утгыг олоход түгээмэл хэрэглэгддэг томъёо юм. Ялангуяа n нь их утгатай үед(10!, 100! ...) мөн log суурьтай n!-н утгыг тооцоолоход хэрэглэгддэг. Бодолтын үр дүнд тооны машинаар бодсонтой хариу нь яг таарч гарахгүй ч хамгийн дөхөмтэйгээр тооцоолж олдог. Энэхүү томъёог алдартай математикч Жеймс Стирлингийн нэрээр нэрлэжээ.

1. $\ln (n!)=n\ln (n)-n$

2. $n!\sim \sqrt{2\pi n}{\left(\frac{n}{e}\right)}^n$

3. $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{n!}{\sqrt{2\pi n}{\left(\frac{n}{e}\right)}^n}=1.$

4. $n\in {\mathbb{N}}_{+}$ үед $\sqrt{2\pi }{n}^{n+1/2}{e}^{-n}\le n!\le e{n}^{n+1/2}{e}^{-n},$

харин $n\ge 1$ үед харьцаа нь $\frac{n!}{n^{n+1/2}{e}^{-n}}$. ($\sqrt{2\pi }=2.5066...$, $e=2.71828...$ тогтмол утгууд)

Томъёоны гаргалгаа

1. $n!$-н утгыг тооцоолохын оронд, түүнээс натурал логарифм авбал:

$\ln (n!)=\ln (1)+\ln (2)+\cdots +\ln (n).$

Тэгшитгэлийн баруун талаас нь хасвал

$\frac{1}{2}(\ln (1)+\ln (n))=\frac{1}{2}\ln (n),$

Интегралын трапец дүрмийн дагуу

$\ln (n!)-\frac{1}{2}\ln (n)\approx \underset{1}{\overset{n}{\int }}\ln (x)\mathrm{d}x=n\ln (n)-n+1,$

Euler–Maclaurin томъёо-н дагуу алдаа нь:

$\begin{array}{cc}\ln (n!)-\frac{1}{2}\ln (n)& =\frac{1}{2}\ln (1)+\ln (2)+\ln (3)+\cdots +\ln (n-1)+\frac{1}{2}\ln (n)\\ & =n\ln (n)-n+1+\sum _{k=2}^m\frac{(-1{)}^k{B}_k}{k(k-1)}(\frac{1}{n^{k-1}}-1)+R_{m,n},\end{array}$

Үүнээс B_k( Бернуллийн дугаар) ба R_m,n-г олохын тулд хязгаар авна.

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(\ln (n!)-n\ln (n)+n-\frac{1}{2}\ln (n))=1-\sum _{k=2}^m\frac{(-1{)}^k{B}_k}{k(k-1)}+\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{R}_{m,n}.$

энд $y^{″}$-аар хязгаарыг тэмдэглэсэн

$R_{m,n}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{R}_{m,n}+O\left(\frac{1}{n^m}\right),$

Big-O-г хэрэглэхэд, түүний логарифм хэлбэр дэхь тэгшитгэлүүдйг нэгтгэнэ:

$\ln (n!)=n\ln \left(\frac{n}{e}\right)+\frac{1}{2}\ln (n)+y+\sum _{k=2}^m\frac{(-1{)}^k{B}_k}{k(k-1)n^{k-1}}+O\left(\frac{1}{n^m}\right).$

Хоёр талаас нь экспоненциал аваад, m-г эерэг гэж үзүүл, m = 1 болоод томъёо нь

$n!=e^y\sqrt{n}{\left(\frac{n}{e}\right)}^n(1+O\left(\frac{1}{n}\right)).$

энд e^y эь $e^y=\sqrt{2\pi }$ болсноор Стирлингийн томъёо нь:

$n!=\sqrt{2\pi n}{\left(\frac{n}{e}\right)}^n(1+O\left(\frac{1}{n}\right)).$

Laplace-н томъёог хэрэглэн, 2 талаасаа хязгаарлагдсан хандлага нь $\sqrt{2\pi n}$ болсноор Стирлингийн томъёо нь.

$\ln (n!)=\sum _{j=1}^n\ln (j)$

Интеграл авахад

$\sum _{j=1}^n\ln (j)\approx \underset{1}{\overset{n}{\int }}\ln (x)\mathrm{d}x=n\ln (n)-n+1.$

2. Гамма функцыг ашиглан $n!$ -г олъё.

$n!=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^n{e}^{-x}dx.$

Хувьсагчуудаа $x=ny$ ингэж солиход

$n!=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{n\ln x-x}dx=e^{n\ln n}n\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{n(\ln y-y)}dy.$

үүнийг Laplace-н томъёон дагуу:

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{n(\ln y-y)}dy\sim \sqrt{\frac{2\pi }{n}}{e}^{-n}$

Стирлингийн томъёо нь,

$n!\sim e^{n\ln n}n\sqrt{\frac{2\pi }{n}}{e}^{-n}\sim \sqrt{2\pi n}{\left(\frac{n}{e}\right)}^n.$

Laplace-н томъёог хэрэглээд n-н факториалыг олоход алдаа үүсдэг учир Laplace-н томъёо-д өргөтгөлийг тооцоолвол

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{n(\ln y-y)}dy\sim \sqrt{\frac{2\pi }{n}}{e}^{-n}(1+\frac{1}{12n})$

Стирлингийн томъёо,

$n!\sim e^{n\ln n}n\sqrt{\frac{2\pi }{n}}{e}^{-n}(1+\frac{1}{12n})\sim \sqrt{2\pi n}{\left(\frac{n}{e}\right)}^n(1+\frac{1}{12n})$ болох ба энүүгээр тооцоолбол алдааны утга багасах болно.

Гамма функцинд Стирлингийн томъёо

Бүх утга нь эерэг байх n-н хувьд,

$n!=\mathrm{\Pi }(n)=\mathrm{\Gamma }(n+1),$

Гамма функцыг Γгэж тэмдэглэдэг.

Pi функц нь факториал биш ч, төвөгтэй тоонуудыг тодорхойлдог. Хэрвээ Re(z) > 0 бол

$\ln (\mathrm{\Gamma }(z))=(z-\frac{1}{2})\ln (z)-z+\frac{1}{2}\ln (2\pi )+2\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\arctan (\frac{t}{z})}{\exp (2\pi t)-1}\mathrm{d}t.$

Интеграл авбал

$\ln (\mathrm{\Gamma }(z))\sim (z-\frac{1}{2})\ln (z)-z+\frac{1}{2}\ln (2\pi )+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{B_{2n}}{2n(2n-1)z^{2n-1}}$

B_n нь n-н Бернуллийн дугаар.|arg(z)| < π−ε ба ε эерэг байхад алдааны утга нь $O(z^{-2m-1})$ байна. үүнийг томъёондоо орлуулахад:

$\mathrm{\Gamma }(z)=\sqrt{\frac{2\pi }{z}}{\left(\frac{z}{e}\right)}^z(1+O\left(\frac{1}{z}\right)).$

Энэ асимптотик томъёог Re(z)тогтмол утгатай z аргументыг олоход хэрэглэдэг.

Жишээ бодлого

Бодлого1. 10!=?

$10!=10*9*8*7*6*5*4*3*2*1$=3628800 гэж олж болох ч Стирлингийн томъёогоор бодвол

$10!\sim \sqrt{2\pi 10}{\left(\frac{10}{e}\right)}^{1}0=3598695.61$

Бодлого2. log(10!)=?

$log(10!)=15.104$ бол Стирлингийн томъёогоор бодвол

$\log (10!)=10\ln (10)-10$ нь ойролцоогоор 15,095 гарч байна.

Түүх

n-н факториалыг олох доорхи томъёог анх нээсэн хүн Abraham de Moivre юм.

$n!\sim [\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{t}]\cdot n^{n+1/2}{e}^{-n}.$

Холбоотой хичээлүүд

• Факториал
• Lanczos approximation
• Spouge's approximation

Ном зүй

• Загвар:Citation
• Загвар:Citation
• Загвар:Citation
• Загвар:Citation
• Dan Romik, Stirling’s Approximation for n!: The Ultimate Short Proof?, The American Mathematical Monthly, Vol. 107, No. 6 (Jun. – Jul., 2000), 556–557.
• Y.-C. Li, A Note on an Identity of The Gamma Function and Stirling’s Formula, Real Analysis Exchang, Vol. 32(1), 2006/2007, pp. 267–272.

Линкүүд

• Peter Luschny, Approximation formulas for the factorial function n!
• Загвар:MathWorld