Аполлоны теорем

Аполлоны теорем нь элементар геометрт гурвалжин дахь хэд хэдэн элементүүдийг холбосон теорем юм.

Энэ теорем нь өгөгдсөн ABC гурвалжны хувьд хэрэв D нь BC талыг n:m (эсвэл $mBD=nDC$) гэсэн харьцаатайгаар хуваасан дурын цэг бол

$mA{B}^2+nA{C}^2=mB{D}^2+nD{C}^2+(m+n)A{D}^2.$

биелэнэ.

Теоремын онцлог тохиолдлууд

• $m=n(=1)$ үед AD нь BC тал дээр буусан медиан болох бөгөөд теорем дараах хэлбэрт шилжинэ

$A{B}^2+A{C}^2=B{D}^2+D{C}^2+2A{D}^2.$$A{B}^2+A{C}^2=B{D}^2+D{C}^2+2A{D}^2.$

• Үүн дээр нэмээд AB = AC гэвэл адил талт гурвалжин болох бөгөөд улмаар теорем нь Пифагорын теорем болон хувирна

$A{D}^2+B{D}^2=A{B}^2(=A{C}^2).$

Энгийнээр аливаа гурвалжин $ABC$-ын хувьд хэрэв $AD$ нь медиан бол $A{B}^2+A{C}^2$= $2(A{D}^2+B{D}^2)$ биелэнэ. Энэ теоремыг батлахын тулд $BC$ тал дээр $A$ оройгоос $AX$ перпендикулярыг буулгая. Тэгвэл $ABX$ болон $ACX$ гурвалжнуудын хувьд Пифагорын теоремыг хэрэглэвэл

$A{B}^2=A{X}^2+B{X}^2$

=$A{X}^2+(BD+DX{)}^2$

=$A{X}^2+B{D}^2+D{X}^2+2.BD.DX$ ...........(i)

болон

$A{C}^2=A{X}^2+C{X}^2$

=$A{X}^2+(CD-DX{)}^2$

=$A{X}^2+C{D}^2+D{X}^2-2.CD.DX$ ...........(ii)

болно.

(i) болон (ii) тэгшитгэлүүдийг нэмбэл

$A{B}^2+A{C}^2$

=$A{X}^2+B{D}^2+D{X}^2+2.BD.DX+A{X}^2+C{D}^2+D{X}^2-2.CD.DX$

=$2(A{X}^2+D{X}^2+B{D}^2)$ { $BD=DC$ учраас, $2.BD.DX=2.DC.DX$ болно}

=$2(A{X}^2+D{X}^2)+2B{D}^2$

=$2(A{D}^2+B{D}^2)$ {$AXD$ нь тэгш өнцөг учраас}

Теорем батлагдав.

Мөн үзэх

• Пифагорын теорем
• Чевийн теорем